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华中科技大学数理方程课件——第三章行波法与积分变换法精品文档_图文


数学物理方程与特殊函数

第3章行波法与积分变换法

第三章 行波法与积分变换法

一 行波法
1 基本思想: 先求出偏微分方程的通解,然后用定解条件确定
特解。这一思想与常微分方程的解法是一样的。

2 关键步骤: 通过变量变换,将波动方程化为便于积分的齐
次二阶偏微分方程。
3 适用范围: 无界域内波动方程,等…

数学物理方程与特殊函数

第3章行波法与积分变换法

??x2? ? ? ? ? ? ?u2u???(t2xu 2a,10????? 2)????a ? ????x2?t2???? ?u2(2x2 xu ??2),???0,?1au(??x????t??,?0 t?x)???222??????? ua?1(2x0)??,?t22? ?????? ? u? ? ?0xx? ?? ??x?? ? ?,??t?? ??x0???2?x?a??t?x??t ????t?x??2???ta?at

?????x?1 a?? ?t????????x?1 a?? ?t???u?0

? ? ? ?1? ?
?? ?x a ?t

? ? ? ?1? ?
?? ?x a ?t

?1?? ? ?1? ? ?? 2??x a ?t ?
? ? ? ?x?? ?t
?? ?x?? ?t ??

?2u
????

???????????u?????0

?u ? f (? ) ??

u?f1(?)?f2(?)

?1?? ? ?1? ? ?? 2??x a ?t ?
u?f1 (x? a)? tf2 (x? a)t

数学物理方程与特殊函数

第3章行波法与积分变换法

? ? ? ? ? ? ?u??(t2xu 2,0?)a ?2?? ?(x2 xu2),,?u(?xt,0)??(x),

???x??? ,t?0 ???x???

u?f1 (x? a)? tf2 (x? a)t
? u ( x ,0 )? f1 ( x )? f2 ( x )?( x )

t1
t2

f2

行波法
f1

? ?u(? x t,0)?af1 ?(x)?af2 ?(x)??(x)

f1(x)?f2(x)?a 10x?(?)d??C

f1(x)?1 2?(x)?2 1 a?0 x?(?)d??C 2 f2(x)?1 2?(x)?2 1 a?0 x?(?)d??C 2

? ? ?? ? ? ?? ? ? u ? 1 ( x ? a ) ? 1 tx ? a( t) d ? C ? 1 ( x ? a ) ? 1 tx ? a( t) d ? C

2

2 a 0

2 2

2 a 0

2

? ? ??? ? u ? 1 ?(x? a t)?(x? a t)??1x ? a t ()d

2

2 ax ? a t

一维波动方程的达朗贝尔公式

数学物理方程与特殊函数

第3章行波法与积分变换法

? ? ??? ? u (x ,t)? 1 ?(x ? a t)?(x ? a t)?? 1x ? a t ()d

2

2 ax ? a t

4 解的物理意义
a. 只有初始位移时,u(x,t)?1??(x?at)??(x?at)?
2
?(x ? at) 代表以速度a 沿x 轴正向传播的波
?(x ? at) 代表以速度a 沿x 轴负向传播的波
? b. 只有初始速度时: u(x,t)?1 x?at?(?)d? 2a x?at 假使初始速度在区间 上是常数 ,而在此区间外恒等于0
? ? u (x ,t)?1 (x ? a t)?1 (x ? a t)

结论:达朗贝尔解表示沿x 轴正、反向传播的两列波速 为a波的叠加,故称为行波法。

数学物理方程与特殊函数

第3章行波法与积分变换法

? ? ??? ? u (x ,t)? 1 ?(x ? a t)?(x ? a t)?? 1x ? a t ()d

2

2 ax ? a t

5 达朗贝尔公式的应用

? ? ? ? ?uu|tt? t? 0?a2 eu?xx2x,?0u,t

???x?? |t?0?2ax?ex2

解:将初始条件代入达朗贝尔公式
? u (x )? 1 2 [e ? (x ? a )2 t? e ? (x ? a )2 t ]? 2 1 ax x ? ? a a2 ta t ? s s 2 d es
? ?1 2[e ? (x ? a)2 t? e ? (x ? a)2 t]? 1 2x x ? ? a ae tt? s2d2s
?1 2[e? (x? a)2 t?e? (x? a)2 t]?1 2[?e? s2x x? ? a att ? e?(x?at)2

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第3章行波法与积分变换法

6 相关概念

? ? ??? ? u (x ,t)? 1 ?(x ? a t)?(x ? a t)?? 1x ? a t ()d

t

2

2 ax ? a t
t

P (x,t)

依赖区间
x x?at x?at

x ? x1 ? at

x ? x2 ?at

决定区域

x1

x2

x

t
x ? x1 ? at

影响区域

x1

x2

x ? x2 ?at

x?at?C 特征线 ? ?x?at
??x?at 特征变换
x

行波法又叫特征线法

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第3章行波法与积分变换法

7 非齐次问题的处理(齐次化原理)

? ? ? ???2 tu2 ?a2??x2u2?f(x,t),

???x???,t?0

? ? ?u(x,0)??(x),?u(?xt,0)??(x), ???x???

利用叠加原理将问题进行分解:u ? u1 ?u2

??????2tu21

?a2?2u1, ?x2

???x???,t?0

???u1(x,0)??(x),?u1?(xt,0)??(x), ???x???

??????2tu22

?a2

?2u2 ?x2

?f

(x,t),

???x???,t ?0

???u2(x,0)?0,?u2?(tx,0)?0, ???x???

? ? ??? ? u 1 (x ,t)? 1 2 ?(x ? a t)?(x ? a t)?? 2 1 ax x ? ? a a tt ()d

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第3章行波法与积分变换法

??????2tu22

?a2

?2u2 ?x2

?f(x,t),

???x???,t ?0

???u2(x,0)?0,?u2?(tx,0)?0, ???x???

利用齐次化原理,若? 满足:

???????? ??2(t?2x,??)a?20??,2x??2?,(?xt,?)?f(x,?),

???x???,t??
???x???

? 则:u2(x,t)?

t?(x,t,?)d?
0

令:t1 ? t ??

??????????2t(1?x2,0?)a?20??,2x??2?,?(tx1,0)?f(x,?),

???x???,t1?0 ???x???

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第3章行波法与积分变换法

??????????2t(1?x2,0?)a?20??,2x??2?,?(tx1,0)?f(x,?),

???x???,t1?0 ???x???

? ? ??? ? ??? (x ,t1 )? 2 1 ax x ? ? a a t1 t1f(,) d? 2 1 ax x ? ? a a ( ( tt ? ? ??) )f(,) d

? u2(x,t)?

t?(x,t,?)d?
0

? ? ? 1

t

x?a(t??)
f (?,?)d?d?

2a 0 x?a(t??)

从而原问题的解为

? u(x,t)?1??(x?at)??(x?at)??1 x?at?(?)d?

2

2a x?at

?? ?1 t x?a(t??) f(?,?)d?d?
2a 0 x?a(t??)

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第3章行波法与积分变换法

? ?x2u2?(A?B)??x2?uy?AB ? ?y2u2?0 ?u??u????u??? A?u ?B ?u ?x ?? ?x ???x ?? ??

? ?y?Ax
? ? y?Bx

? ? ?? ? ? ?? ? ? x 2 u 2? ? ?? ? ? ?A ? ? u? B ? ? u ? ? ? ?? ? x? ? ?? ? ? ?A ? ? u? B ? ? u ? ? ? ?? ? x?A2? ??2u2?2AB ???2 ?u??B2? ??2u2

??uy????u???y????u???y?

?u ??

?

?u ??

? ? y 2 u 2?? ? ?? ? ? ?? ? ? u?? ? ? u? ? ? ?? ? ? y?? ? ?? ? ? ?? ? ? u?? ? ? u? ? ? ?? ? ? y????2u2 ?2???2?u?????2u2
? ? ?? ? ? ?? ? ? x 2 ? u y? ? ?? ? ? ?A ? ? u ? B ? ? u ? ? ? ?? ? y? ? ?? ? ? ?A ? ? u ? B ? ? u ? ? ? ?? ? y ?A? ??2u2?(A?B)?? ?2 ?u??B? ??2u2

? ?x2u2?(A?B)??x2?uy?AB ?? ?y2u2
?A2? ??2u 2?2AB?? ?2 ?u ??B2? ?? 2u2?(A?B)???A? ??2u 2?(A?B)?? ?2 ?u ??B? ?? 2u2???

?AB???? ??2u 2?2?? ?2 ?u ??? ?? 2u2???

??(A?B)2

?2u
????

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第3章行波法与积分变换法

?2u

?2u

?2u

?(A?B) ?AB ? ?0

?x2

?x?y

?y2

??y?Ax ??y?Bx

? 2u ? 0 ????

特征方程
( d y ) 2 ? ( A ? B ) d x d y ? A B ( d x ) 2 ? ? d y ? A d x ? ? d y ? B d x ? ? 0

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第3章行波法与积分变换法

例1 解定 解问题

??2u ?2u ?2u

???x2

?2 ?3 ?x?y ?y2

?0,

y?0,???x???

??u(x,0)?e?x2,?u(x,0)?0, ???x???

??

?y

解 dy2?2dxdy?3dx2? (d y? 3 d x )(d y? d x )? 0
??y?3x ??y?x

?2u ? 0 ????

u?f1(?)?f2(?)?f1 (y? 3 x )? f2 (y? x )

u (x ,0 )? e ? x 2?f1 (? 3 x )? f2 (x )

?u? (x y,0)?0?f1?(?3x)?f2?(x) ?13f1(?3x)?f2(x)?C

f2(x)?43e?x2

?3C 4

f1(?3x)?43e?x2

?3C 4

f1(x)?43e?x2/9

?3C 4

u?3e??y?3x?2?3C ?3e??y?x?2?3C?3e??y?3x?2 ?3e??y?x?2

4

44

44

4

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第3章行波法与积分变换法

例2 求解 ? ? x 2u 2?2sinx? ? x 2 ? u y?(co sx)2? ? y 2u 2?co sx? ? u y?0 解:特征方程为
( d y ) 2 ? 2 s in x d x d y ? ( c o s x ) 2 ( d x ) 2 ? 0

(dy?sinxdx)2?(dx)2?0

( d y ? s i n x d x ? d x ) ( d y ? s i n x d x ? d x ) ? 0

dy ? ? sin x ? 1 dx

y ? cos x ? x ?C1

d y ? ? s i n x ? 1 y ? cos x ? x ?C2

dx
令: ? ? cos x ? x ? y ? ? cos x ? x ? y

? 2u ? 0 ????

u(?,?)??(?)? ?(?)
? ? u ( x , y ) ? ( c o s x ? x ? y ) ? ( c o s x ? x ? y )

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第3章行波法与积分变换法

例3 求解Goursat问题

?????2tu2 ???x2u2 , ?t?x?t,t ?0

??ut??x ??(x), x?0

其中?(0)=?(0)

??ut?x ??(x), x?0

解:令 ? ? x ? t ??x?t

x ? ? ?? t ? ? ? ?

? ?2u 2

? ?

?

?

?

?

?

0,

2 ? ? 0,? ? 0

? ?u

? ? (? ), ? ? 0

? ??0

2

?(?)
2

?

f1(0)?

f2(?)

u(?,??)? (?? 2)(??2)f1? (?f2 )(?0)f? 2(? 0)(? 2)?f1(0)

?(0)?f1(0)?f2(0)

? ?? u

? ?0

??

(?
2

),

? ?0

u?f1(?)?f2(?)

?(0)?f1(0)?f2(0)

u(x,y)??(x?t)??(x?t)??(0)

2

2

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第3章行波法与积分变换法

思考题:求解如下定解问题

? ?2u ?2u

???4?t2 ?25?x2,

y?0,???x???

?u(x,0)?sinx,?u(x,0)?3x, ???x???

??

?t

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第3章行波法与积分变换法

二 积分变换法
1 傅立叶变换法

傅立叶变换的定义
? U(?,t) ? ??u(x,t)e?j?xdx ??
? u(x,t) ? 1 ??U(?,t)ej?xd?
2? ??
傅立叶变换的性质

微分性 f(n)(x)? (j?)nF(?)

位移性 积分性 相似性

f(x?a)? F(?)e?j?a

x
?0

f

(?)d?

?1 F(?) j?

f (ax) ? 1 F(?)
aa

f(? x? )j?F(?) f?(? x? ) ??2F(?)
偏微分方程变 常微分方程

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第3章行波法与积分变换法

例1 解定解问题

? ? ? ? ? ? ?u??(t2xu 2,0?)a ?2?? ?(x2 xu2),,?u(?xt,0)??(x),

???x??? ,t?0 ???x???

解:利用傅立叶变换的性质

f(x? ) F(?) f(? x? )j?F(?) f?(? x? ) ??2F(?)

???????U d2(U ?dt,(0?2),?t)? ?(??a)2,?dU2Ud(?t(?,0,)t)?,?(?), t ?0
? ? ? U (,t)? A ca o t? s B sa it n
U U ((? ?,,t0 ))? ?? A (? ?? )c (o ? s)a ? t?? a (? ?)siBna ?? ?ta(?? )

f(? x?)? F(?)e?j??

x
?0 f(?)d?

?Fj(??)

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第3章行波法与积分变换法

f(? x?)? F(?)e?j??

U (? ,t)?? (?)co sa ? t?? a (? ?)sina ? t

?xf(?)d? 0

?F(?) j?

? eja?t?e?ja?t ? ( )eja?t?e?ja?t

? ?? ( )

?

? 2

a 2j

?? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 ? () e ja ? t? ? () e ? ja ? t? 2 1 a ? ? ? ? j()e ja ? t? ? j()e ? ja ? t? ? ?

? ? ? ?? ? ?? ? ? u ( x ,t ) ? 1 2 ?( x ? a ) ? t ( x ? a ) ?? 2 t 1 a ? ? ? 0 x ? a( t) d ? 0 x ? a( t) d ? ? ?

? ? ??? ? ? 1 ?(x? a)? t(x? a)?? t1x ? a

t
()d

2

2 ax ? a t

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第3章行波法与积分变换法

例2 解定解问题

?????ut ?a2

?2u ?x2,

???x??? ,t?0

??u(x,0)??(x), ???x???

解:利用傅立 叶变换的性质

??dU(?,t)??a2?2U(?,t), t?0
? dt
??U(?,0)?1,

U(?,t)?C?ea2?2t

C ?1

U(?,t)?e?a2?2t

x2 ?
1 e ?e 2?2

?2?2
? 2

u

2??

x2 ?
1 e ?e 4?2t

?a2?2t

2a ?t

u(x,t) ?

1

? x2
e 4?2t

2a ?t

x

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第3章行波法与积分变换法

2 拉普拉斯变换法 拉普拉斯变换的定义
? T ( p) ? ?? f (t)e? ptdt 0
? f (t) ? ?? T ( p)e ptdp 0
拉普拉斯变换的性质 微分性
f ( n ) ( x ) ? p n F ( p ) ? ? ? p ( n ? 1 ) f ( 0 ) ? p ( n ? 2 ) f '( 0 ) ? ? f ( n ? 1 ) ( 0 ) ? ?

f'(x)? p F (p)?f(0 ) f''(x )? p 2 F (p )? p f(0 )? f'(0 )

偏微分方程变 常微分方程

相似性 f (ax) ?1F(?)
aa

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第3章行波法与积分变换法

例3 解定解问题

????u??(utx,?0)a?2

?2u
?x2 0,

,

x ? 0,t ? 0 x?0

??u(0,t) ? N, t ? 0 解? :对t求拉氏变换

? ??pU(x,

p)

?

a2

? ?U(0,

p)

?

N

d2U(x, dx2

p)

,

x?0

??

p

p

p

x

?x

U(x,p)?Aea ?Bea

N

A?B ?

p

U(x,

p)

?

N

?
e

p a

x

p

erf(ck )?1e?k p 2t p
erf(c x )?1e?ax p 2a t p
u(x,t)?N?erfc( x ) 2a t

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第3章行波法与积分变换法

例4 解定解问题

? ? ?? ?u t ?a2? ?x2u 2?f(x,t),???x??,? t?0

? ?u(x,0)??(x),

???x???

解:对x求傅氏变换

? ?dU(?,t)??a2?2U(?,t)?F(?,t), t?0
? dt
? ?U(?,0)??(?),
对t求拉氏变换
? ? ?? ? p (U ,p ) ? ? () ? ? a 22 U (,p ) ? F (,p )

U(?,p)?F(?,p)??(?) p?a2?2

eat ? 1 p?a

? ? ? U (,t)? ? ()e ? a 2 ? 2 t? F (,t)? e ? a 2 ? 2 t

e ? ?a2?2t

1

? ? ?? ? ? ? ()e? a 2 ?2 t?tF (,)e? a 2 ?2(t? ?)d 0

p?a2?2

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第3章行波法与积分变换法

? ? ? U (,t)? ? ()e ? a 2 ? 2 t? F (,t)? e ? a 2 ? 2 t

? ? ?? ? ? ? ()e? a 2 ?2 t?tF (,)e? a 2 ?2(t? ?)d 0

x2 ?
1 e ?e 2?2

?2?2
? 2

2??

? x2
1 e ?e 4?2t

?a2?2t

2a ?t

? ? ? ? u (x ,t)?(x )?1e ? 4 ? x 2 2 t?tf(x ,)? 1 e ? 4 ?2 x ( 2 t? ?)d

? ?? 2 at

0

2 a(t?)

??? ??? ?? ?? ?1

?x ? ??2

?()e ?4 ?2 td?t

?
f(,)

?x ? ??2
1 e ? 4 ?2 (t? ?)dd

? ?? 2 at? ?

0? ? 2 a(t?)

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第3章行波法与积分变换法

例5 解定解问题

????u??(t2xu2,0?)???x20u2, ?tsinx,

??u(x,0)

? ?

?t

?sinx,

???x??,t ?0 ???x?? ???x??

解:对t求拉氏变换 p2U(x,p)?six n?ddx22U(x,p)?spi2x n 对x求傅氏变换

?? ???? ?? ? ???? p 2 U (,p ) ? j?(? 1 ) ? (? 1 ) ?? ? 2 U (,p ) ? p 1 2 j?(? 1 ) ? (? 1 ) ?

U(?,p)?????1?p12????j???p2(??? ?12)??(??1)?

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第3章行波法与积分变换法

U(?,p)?????1?p12????j???p2(??? ?12)??(??1)?

?????1?p12

????j???(??1)??(??1)?
p2 ?1

?j???(??1p)2??(??1)?

? ? ?1

u(x,t)?tsinx

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第3章行波法与积分变换法

例6 求方程

?2u ?x2y,x?1,y?0 ?x?y

满足边界条件 u(x,0)?x2 , u(1,y)?coys的解。

解法一: ?u?1x2y2 ?g(x)
?x 2

u?1 6x3y2?f1(x)?f2(y)

u (x ,0 )?f1 (x )? f2 (0 )? x 2

f1(x)?x2?f2(0)

u(1,y)?1 6y2?f1(1)?f2(y)?co ys f2(y)?coys?1 6y2?f1(1)

u ? 1 6 x 3 y 2? x 2? c o sy? 1 6 y 2? (f1 (1 )? f2 (0 ))

u(1 ,0 )?f1(1 )?f2(0 )?1

u?1x3y2?x2?cosy?1y2?1

6

6

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第3章行波法与积分变换法

?2u ?x2y,x?1,y?0 ?x?y

u(x,0)?x2

u(1,y)?coys

解法二:对y求拉氏变换

? ? d pU(x,p)?x2 ?x2

dx

p2

p U(1, p) ?
p2 ?1

d U(x, p)? x2 ?2x

dx

p3 p

U(x, p)? x3 ?x2 ?C 3p3 p

C?

p2p?1?31p3

?

1 p

U(x,p)?x3 ?x2? p ?1?1 3p3 p p2?1 3p3 p

u (x,y)?1x3y2?x2?co y? s 1y2? 1

6

6

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第3章行波法与积分变换法

例7 解定解问题

?????u??(2txu2,0?)???x2u02,?

xt (1?x2)2

,

??? x??,t ?0 ??? x ??

???u(x,0) ?? ?t

?1 1?x2

,

解:对t取拉氏变换

??? x ??

p2 U (x,p)?1

d2 U (x,p)

?

?

x

1?x2 d x2 (1?x2)2p2

x取傅立叶变换 p2 U (?,p)?F (?)?? ?2 U (x,p)?G p (? 2)

其中

x ? G (?), 1 ? F(?)

(1?x2)2

1?x2

U (?,p)?G p (? p 22 )? ?? F 2 (?)?? ? ?G p (? 2)?F (?)? ? ??p2? ??2?? 1

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第3章行波法与积分变换法

U (?,p)?G p (? p 22 )? ?? F 2 (?)?? ? ?G p (? 2)?F (?)? ? ??p2? ??2?? 1

U(?,t) ? 1 ?G(?)t ? F(?)??sin?t ? 1 G(?) ?t ?sin?t ? 1 F(?)? (t) ?sin?t

?

?

?

?

1
?

G(?) ?

t
?0

(t

??

) sin ?? d?

?

1
?

F (?) sin ?t

? ?

?

1
?2

G(?)

?

t (t ?? )dcos?? ? 1 F(?)sin?t

0

?

? ? ? 1
?2

G(?) ? ???(t ?? )cos??

|t0

?

t 0

cos??

d?

? ??

?

1
?

F (?) sin ?t

?

?

1
?2

G(?)

?

????t

?

1
?

sin

?

t

? ??

?

1
?

F (?)

sin

?

t

?

t
?2

G(?)

?

1
?

F (?) sin ?t

?

1
?

1
?2

G(?) sin ?t

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第3章行波法与积分变换法

U ( ? ,t)? ? t2 G ( ? )? ? 1 F ( ? )s? it? n ? 1 ? 1 2 G ( ? )s? itn

? ? ? G(?)
j?

x
?

?

-?1??2

2d?

x (1 ? x 2 ) 2

?

G (? )

? ? ? ? ? ? ? ? 1
?2

G(?)???Gj?(??2)

x
?? -?

?? -? 1??2

2d?d?

??1 2

x -?

?
-?

1
1??2

2d?2d?

? ? ? ? ??1 2

x -?

-??2?1?1??2d?d?

?1 2

x -?

-??2d?1?1??d?

? ? ? ?1 x 1 d?? 1 arctanx

2 -? 1??2

2

F(?)sin?t?F(?)ej?t ?e-j?t
2j

?21???j1??x1?t?2?1??x1?t?2???

f (x ? t) ? F(?)ej?t 1 ? F(?)
1? x2

? 1F(?)sin?t?jj1 ?F(?)sin?t ? j2 1?? jx????1???1?t?2?1???1?t?2???d?

?1?arcxt? at)n?a( rcxt? at)n ? (
2

数学物理方程与特殊函数

第3章行波法与积分变换法

U ( ? ,t)? ? t2 G ( ? )? ? 1 F ( ? )s? it? n ? 1 ? 1 2 G ( ? )s? itn

x (1? x2)2

?G(?)

1
?2

G(?)?1arctaxn
2

1 F(?)sin?t ?1?arctxa?tn)?(arctxa?tn)?(

?

2

? 12G (?)sin?t?? 12G (?)ej?t2 ?je-j?t ? 41j?arc?txa?tn??arc?txa?tn??

? ??? ? ? ? ? 11 2 G () s int? j4 1 j? x ? ? ? a r c ta n ?? t?? a r c ta ?n a ?rc ta ? n t ? x ?? ? d d x? x a rc ta n ? x? ? 2 ln (1 ? x 2 )? c

? 1 4 ? ? ? x arx ? c 1 2 lt1 n ? a x 2 ) ( ? ? ? n |? x ? ? t? 1 4 ? ? ? x arx ? c 1 2 lt1 n ? a x 2 ) ( ? ? ? n |? x ? ? t

? 1 4 ? ? ? ? x ? t ? ar ? x ? t c ? ? 1 2 l t1 n ? a ? x ? t n ( ? 2 ) ? ? x ? t ? ar ? x ? t c ? ? 1 2 l t1 n ? a ? x ? t n ( ? 2 ) ? ? ?
? 1 4 ??x ? t?ar?x c ? t?? t?x a ? t?a nr?x c ? t??? t8 1 a l1 1 n ? ? n ? ?x x ? ? t t? ?2 2

u?tarcxt?a1?n arcxt?at)n ?a(rcxt?at)?n(

2

2

?1 4??x?t?arc?xt?at?? n?x?t?arc?xt?at??n ?8 1ln 1 1? ???x x? ?tt??2 2

数学物理方程与特殊函数

第3章行波法与积分变换法

3 积分变换法求解问题的步骤 ?对方程的两边做积分变换将偏微分方程变为常微分方程 ?对定解条件做相应的积分变换,导出新方程变的为定解条件 ?对常微分方程,求原定解条件解的变换式 ?对解的变换式取相应的逆变换,得到原定解问题的解
4 积分变换法求解问题的注意事项 ?如何选取适当的积分变换 ?定解条件中那些需要积分变换,那些不需取 ?如何取逆变换

思考 利用积分变换方法求解问题的好处是什么?

数学物理方程与特殊函数

第3章行波法与积分变换法

三. 三维波动方程的柯西问题

??2u ????u?tt?20

?a2??????x2u2 ?
??(x, y,z)

?2u ?y2

???z2u2 ????,

t ?0,x, y,z?R

???u ??(x, y,z)

???t t?0

?u???x2u2 ???y2u2 ???z2u2

数学物理方程与特殊函数

第3章行波法与积分变换法

球对称情形

? x ? r sin ? cos ?

? ?

y

?

r

sin

?

sin

?

?? z ? r cos ?

?u???x2u2 ???y2u2 ???z2u2

?? ?? ?? ? r 1 2? ? r? ? ?r2? ? u r? ? ?? r2 s 1i? n ?? ? ? ?si? ? n u ? ? ? ?? r2 s 1i? ? n 2 u 2

所谓球对称是指 u与 ? ,? 无关,则波动方程可化简为

?2u?a2 ?t2

1 r2

???r2 ?r?

?u?? ?r?

?2u ?t2

?a2??????r2u2 ?2r ??ur????

数学物理方程与特殊函数

第3章行波法与积分变换法

? ? u ( t,x ,y ,z )? u ( t,r ,,)? u ( t,r )

?2u ?t2

?a2??????r2u2 ?2r ??ur????

u(0,r)??(r)

ut(0,r)??(r)

u(t,0)?g(t)

r?0,t ?0

半无界问题

数学物理方程与特殊函数

第3章行波法与积分变换法

?2u ?t2

?a2??????r2u2 ?2r ??ur????

?2(ru) ?t2

?a2

?2(ru) ?r2

r(u0,r)?r?(r)

?2u?a2 1?2(ru)

?t2

r ?r2

r?0,t ?0

ru t(0,r)?r?(r)
ru(t,r) ?0 r?0

这是关于 v = r u 的一维半无界波动方程.

数学物理方程与特殊函数

第3章行波法与积分变换法

一般情形

? x ? r sin ? cos ?

我们利用球平均法。

? ?

y

?

r

sin

?

sin

?

?? z ? r cos ?

从物理上看,波具有球对称性。从数学上看,总希望把

高维化为一维情形来处理,并设法化为可求通解的情况。

所谓球平均法,即对空间任一点(x,y,z),考虑 u 在 以(x,y,z)为球心,r 为半径的球面上的平均值

1
? ????? ? u (x ,y ,z ,t,r )? ? 4 4 1r 2 0 2 ?S r0 ? u u (x (x ? ? a a 1 1 r r ,,y y ? ? a a 2 2 r r ,,z z? ? a a 3 3 r r,,t t) )d d S

其中 a1?si?nco?,sa2?si?nsi?n,a3 ?co?s为球的半径

的方向余弦,d??si?n d?d?,d? Sr2d ??r2si?d n ?d ?.

数学物理方程与特殊函数

第3章行波法与积分变换法

如把 x, y, z 看作参变量,则 u 是 r,t的函数,若能

求出 u ,再令 r ?0, 则

lim u(x,y,z,t,r)?u(x,y,z,t).
r? 0

为此把波动方程的两边在以x,y,z为中心,r为半径的
球体 Br 内积分,并应用Gauss公式,可得

??? ??? ?? Br

utt dV?a2
Br

?udV?a2
Sr

?udS ?n

(*1)

?? ?? ?a2 ?ur2d??a2r2 ? ud?

S1 ?n

?r S1

数学物理方程与特殊函数

第3章行波法与积分变换法

同时有

??? ??? ???? ?? ?2

?2

B r u ttd V?? t2B r ud V?? t2S 1

ru2d d
0

(*2)

由(*1)(*2)可得

?? ?? ?2 ru?2d?d??a2r2 ? ud?

?t2 S1 0

?rS1

关于r 微分,得

?? ?? ? ?t2 2? ? ? ?r2S1ud?? ? ? ??? ?r? ? ? ?a2r2? ?rS1ud?? ? ? ?

(*3)

利用球面平均值的定义,(*3)可写成

r2 ??2tu2 ?a2 ??r????r2 ??ur????

(*4)

数学物理方程与特殊函数

第3章行波法与积分变换法

(*4)又可改写为

?2(ru) ?t2

?a2

?2(ru) ?r2

?2(ru) ?t2

?a2

?2(ru) ?r2

?ru? ?r? t?0

? ? ? rut t?0 ?r

r?0,t ?0

?ru? ?0 r?0

u?4?1r2?Sr?udS?41 ??S1?ud?

数学物理方程与特殊函数

?2(ru) ?a2 ?2(ru)

?t2

?r2

第3章行波法与积分变换法

通解为 ru?f1(r?a)? tf2(r?a)t.

令 r = 0, 有

0?f1(a)? tf2(?a)t.
def
f(a)t?f1(a)t??f2(?a)t.

代入上式,得
ru?f(r?a)t?f(a? tr).

关于 r 微分,
u?r?u?f?(r?a)t?f?(a? tr). ?r
再令 r = 0,有

u ?u(x,y,z,t)?2f?(a)t. r?0

(*5) (*6)

数学物理方程与特殊函数

第3章行波法与积分变换法

接下来,求满足初值的解。对(*5)关于 t 微分,

?(ru)?af?(r?a)t?af?(a? tr). ?t
(*6)和(*7)相加即得
?(ru)?1?(ru)?2f?(r?a)t. ?r a ?t

2f?(r)?????(?rru)?1a?(?rtu)???t?0

(*7)



u

?

1
4?

??u
S1

d?

代入上式,得

数学物理方程与特殊函数

第3章行波法与积分变换法

2f?(r)?? ? ? ?? ? r? ? ? ?4 r??S1u ?d?? ? ? ??1 a? ? t? ? ? ?4 r??S1u ?d?? ? ? ?? ? ? ?t?0

?? ?? ???????r????4r?S1

ud??????4?raS1

?ud???
?t ??t?0

?41???????r????r?S1??d??????ar?S1? ? d?????

数学物理方程与特殊函数

第3章行波法与积分变换法

从而有

u(x,y,z,t)?2f?(r) r?at

?? ?? ?41???????r????rS1?d??????arS1?d?????r?at ?41???????t?????S1?t?d??????t?S1? ? d?????

?? ?? ???? 1 ?dS??? 1 ?dS

? ?t??4a2tSaMt

? ?
?

4a2tSaMt

M?(x,y,z)

数学物理方程与特殊函数

第3章行波法与积分变换法

?? ?? r ? d? ?

4?a S1

r?at

4?raS1?(x?a1r,y?a2r,z?a3r,t)d?r?at

?? ?4 t?S1?(x?a1a,y t?a2a,zt?a3a,tt)d?

?? ? t ?(?,?,?,t)dS
? 4 (a)t2 SaMt

数学物理方程与特殊函数

第3章行波法与积分变换法

?? ?? u(x,y,z,t)?? ? t? ? ? ?4?1 a2tSa M t?dS? ? ? ??4?1 a2tSa M ? t dS
? ? ?? ?? ?? ? ? ? 4 1 ? ? t ? ? ? t ? 0 2 ? ? 0 ?( x ? a sc t i, n y o ? a s s s t i, n z i ? a n c, t t ) o sd i s d ? ? ? n
? ?? ?? ?? ? ? ?? ? t2 ??( x ? a st c in ,o y ? a s st s in , i z ? n a ct ,t o ) sd s id n ? 400
Poisson公式

数学物理方程与特殊函数

第3章行波法与积分变换法

四. 二维波动方程

??2u ????u?tt?20

? ?

a2

????

?2u ?x2

?(x, y)

?

?2u ?y2

????,

t ? 0, x, y?R

???u ??(x, y)

?? ?t t?0

如果我们把上述问题中的初值视为 ?(x,y,z)??(x,y),

?(x,y,z)??(x,y),重复推导Poisson公式的过程,将会

发现所得Poisson公式中不含第三个变量。

降维法:由高维波动方程的柯西问题的解来求解低维 波动方程柯西问题的方法。 由Hadamard最早提出的。

数学物理方程与特殊函数

第3章行波法与积分变换法

?? ?? u(x,y,z,t)?? ?t? ? ? ?4?1 a2tSa M t?d?? ? ? ??4?1 a2tSa M ? t d?

计算上述曲面积分。由于初始数据与第三个变量无关,

? ? 因此,在 上S 的aMt 球面积分可由在圆域 ? a M :t(? x )2? (? y )2? (a)2t

上的积分得到。 r?at

?? ?????? ?? 4?1a2tSaMt?d?? ??4 24 ?14?1a?1aS aa M Sa? M t(? a M t?)rt?? rrdd ?1 ????4 ???1 2a ?S ?a M ??t(2?)d?r?d?

??? ?? ?1

(, )

dd

?? ? ? ? 2a? a Mt (a)2t?( ?x)2?( ?y)2

数学物理方程与特殊函数

第3章行波法与积分变换法

?? ??? ?? ?? ?? 1 d?1

(,)

dd

? ? ? ? 4a 2 tS a M t

2a ? a M t (a )2? t(? x )2? (? y )2

?2 ? 1 a?0 a?t0 2??(x??c (ao )?2 ,t? y s? ? 2 ?si?n )?d ?d ?

因此

? ? u(x,y,t)? 1 ??? at 2??(x??co?s,y??sin?)?d?d???

2?a?t?? 0 0

(a)t2??2

??

? ? ? 1 at 2??(x??co?s,y??sin?)?d?d?

2?a 0 0

(a)t2??2

数学物理方程与特殊函数
物理意义

第3章行波法与积分变换法

三维情形 惠更斯原理(无后效性现象)

二维情形 波的弥散(后效现象)



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