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2019年-2019_金融风险管理2--市场风险的度量-PPT精选文档_图文


金融风险管理

第二章 市场风险的度量
市场风险(market risk)
?由于金融市场变量(市场因子)的变化或波动而 引起的资产组合未来收益的不确定性。 ?金融市场变量(市场因子):利率,汇率,股价 ,商品价格等。

第二章 市场风险的度量
? §1 市场风险的灵敏度分析法 ? §2 市场风险的波动性度量法 ? §3 市场风险的VaR测量方法 ? §4 VaR测量方法的补充方法

§1 市场风险的灵敏度分析法

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§1 市场风险的灵敏度分析法
一、灵敏度分析法概述

二、固定收益证券的市场风险灵敏度分析法
三、股票的市场风险灵敏度分析法—以CAPM为例 四、衍生证券的市场风险灵敏度测量

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§1 市场风险的灵敏度分析法
一、灵敏度分析法概述
1、灵敏度:市场因子变化一个单位所引起的资产组 合价值变化的程度。
2、数学表示

P ? f (x)
P ? f( xx ,2 , x ) 1 n

?P ? D ? ?x P
?P n ? ? Di ?xi P i ?1

P:资产组合价值;D:灵敏度;x:市场因子

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3、灵敏度法对不同金融工具有不同的具体形式
?固定收益证券:久期和凸度 ?股票:β ?衍生金融产品:Delta, Gamma, Theta, Vega, Rho

?

?

?

?

?

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二、固定收益证券的市场风险灵敏度分析法
(一)固定收益证券的市场风险分析
1、固定收益证券:
是指在特定时间支付预定现金流的金融资产 (比如:各种政府和企业债券等)。 2、风险分析
P ?

?

T

t?1

C Ft (1 ? y ) t

具有相对的 确定性 具有不确定性 贴现率 y 是引起债券价 格 P 变化的市场因子。 (固定收益证券存在利 率风险。)

y ? r f ? rp
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(二)固定收益证券的市场风险灵敏度分析 法——久期和凸度
1、久期(Macaulay Duration)
以债券未来每期现金流的现值与各期现金流现值之和 的比值为权重计算的债券加权平均到期日。

C F t T T T t 1 C F ( 1 ?y ) t D ? t ? w ? t ? ? t ? ? ? t ? T t C F P ( 1 ? y ) t? 1 t? 1 t? 1 t ? t ( 1 ? y ) t? 1
久期的经济学解释:等待 所有现金流所需的平均时 间。

P??
t ?1

T

?1 ? y ?

CFt

t

(1)

当贴现率从y变化为y+dy,根据泰勒展开,可得债券价格变化的一阶近似值为:
d P d P ? P y ? d yP ? y ? d y (2) ? ? ?? d y

由(1)式,可得:

D ? ? D =-

? T tC ? P F t d P = -?? P? d y ?? t? t+ 1 ?1?y? 1? y? t? 1? ? ?t?1 ?1? y? ? ? D D ?? P 将其代入(2)式,则有: dP ? ? P dy ?1?y? ?1? y?
T

? tC F t

dP P

dy 1? y

连续形式

?P P

?y 1? y

离散形式

固定收入债券价格P对贴 现因子1+y的弹性,反映 了债券价格对利率或贴 现率的敏感性。

2、基于久期的利率敏感性测量: 修正久期

CFt P?? t t ?1 (1 ? y )

T

1 T C F dP t t ? ? ? ? 1? y t?1 (1? y)t dy

d P1 1 1T C F t ? ? ? ? ? t? t d yP 1 ? yP ( 1 ? y ) t ? 1
1 T C F t D? ? t? P t?1 (1? y)t

dP 1 D ? ?? dy P 1? y
dP ? ?D* ? dy P

令 D* ?

D 1? y

为修正久期

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久期的分析方法
? 债券的久期越大,说明债券价格对利率越敏感,即利率变化 对该债券价格的影响越大。因此,该债券所承担的利率风险 也越大。 ? 降息时,久期大的债券价格上升幅度较大;升息时,久期大 的债券价格下跌的幅度也较大。 ? 由此,投资者预期未来降息时,可选择久期大的债券;预期 未来升息时,可选择久期小的债券。

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?基于久期的利率敏感性测量评价 dP ? ?D* ? dy

P 修正久期是对固定收益证券价格利率敏感性的线性测量 。即该度量方法只考虑了价格变化和利率变化的线性关系。

P

P

凸度能够衡量收益 率-价格曲线的弯曲 程度。

?P
y

?P
y
? y

? y

如果价格是利率的线性函数,这种基于修正久期的测 量是准确的;如果价格是利率的非线性函数,固定收益证券 价格利率敏感性的测量还需要将凸度的影响考虑进去。

3、基于久期和凸度的固定收益证券利率敏感性测量 定义凸度(convexity)如下:
dD * C ? ? dy
收益率每变化1%所引起的修正 久期的变化程度,间接表明债券 价格对收益率变动的敏感程度。

可以证明: dD * 1 d 2P C ? ? ? ? 2 dy P dy
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* dD 1 d2P 证明: C ?? dy ? P? dy2

dD * C ? ? dy

D D* ? 1? y

1 T C F t D? ? t? P t?1 (1? y)t

1 1 T C F t d ( ? ? t? ) t 1? y P t?1 (1? y) ?? dy
T 1 1 tt (? 1 ) ?C F t ? ? ? 2 ? t P( 1 ? y ) ( 1 ? y ) t ? 1

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* 2 d D 1 dP 目 的 : 证 明 C ? ? ? ? 2 d y Pd y

CFt P?? t (1 ? y ) t ?1

T

d P 1 T C F t ?? t ? ? t d y 1 ?y t? ( 1 ? y ) 1
2 dP 1 Tt ( t? 1 ) ?C F t ? 2 2? t d y ( 1 ? y ) t? ( 1 ? y ) 1



已 证

* d D 1 1 Ttt (?? 1 )C F t C ? ? ?? ? ? 2 t d y P ( 1 ? y ) ( 1 ? y ) t ? 1

?

* dD 1 d2P C ?? ? ? 2 dy P dy
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考虑非线性的资产价格函数
设:P ? f ? y ? 则非线性的资产价格函数关系,可以用函数初始值p0=f(y0)附近的泰 勒展开来近似:
一般地 1 2 ? ? ? P ? P ? f y ? y ?f y ( ? y )? ? ? ? ? 1 0 0 0 2 1 2 ? ? ? Pf ?? y ? y ?f y ( ? y ) ? ? ? ? ? 2 2 d p 1 dp 2 d P ? d y ? ( d y )? 2 * d y 2d y dD 1 d2P dP * C ?? ? ? ? ?D ? P dy P dy2 dP 1 dP 1 1 d 2P 2 dy ? ? dy ? ? ? 2 dy ? P P dy 2 P dy 1 * 所以,固定收益证券价格的利率敏感 ??D dy ? ?C? dy2 2 性估计就是对 D * 和C的估计。 1 * ? ?( D ? ?C? dy)? dy 2
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1 2 ? ? ? PPf ? ? y ? y ? f y ( ? y ) ? ? ? ? ? 1 0 0 0 2

d P * 1 ? ? ( D ? ?Cd ?y ) ?d y P 2

计算:假设某固定收益证券的修正久期为 5 ,凸度为 2 ,计算当利率 分别上升和下降1%时,该固定受益证券价格变化的程度。 -4.99%和5.01%

总结与说明:
?当利率上升或下降相同幅度时,凸性会引起固定收益证券价格下
降或上升幅度不对称:利率下降所导致的证券价值上升的幅度>相 同幅度利率上升导致的证券价格价值下降的幅度。

?具有较大凸性的固定收益证券较受市场欢迎,通常也有相对较高
的价格。 ?固定收益证券组合的(修正)久期和凸度等于该组合中各固定收

益证券(修正)久期和凸度的加权平均。
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d P * 1 ? ? ( D ? ?Cd ?y ) ?d y P 2

凸性的分析方法 ? 由于债券价格与收益率之间成反比关系,而且是非线性的反 比关系,当收益率上升或下降一个固定的幅度时,收益率下 降引起的债券价格上升的幅度大于收益率上升引起债券价格 下降的幅度,而且债券的凸性越大,这种效应就越明显。所 以,当两个债券的久期相同时,它们所面临的风险不一定相 同,这是由于它们不同的凸性引起的。 ? 债券A和债券B在某一点具有相同的久期,但是从这一点出 发,收益率变动相同的单位时,债券价格的波动却不同:收 益率增加相同单位时,凸性大的债券B价格减少幅度较小; 收益率减少相同单位时,凸性大的债券价格增加幅度较大。 因此,在久期相同的情况下,应选择凸性大的债券,其风险 较小。
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三、股票的市场风险灵敏度分析法—以CAPM为例
(一)CAPM基本形式:
E ( R ) ? R ? [( E R ) ? R ] p f? p m f
p

? : 股 票 ( 组 合 ) P 的 B e t a — 对 组 合 P 的 系 统 风 险 的 测 量 .
E (R p)

M
证券市场线

R

f

1
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?

证券市场线:描述股票期望收益与系统风险之间关系的曲线

(二)CAPM模型下股票市场风险的灵敏度分析
R ? R ? ( RR ? ? u p f? i m f) p
由全微分公式

?? ( R ( R ? R ) ? u ) ?? ( R ( R ? R ) ? u ) f pm f p f pm f p d R ? d R ? d R p f m ? R ? R f m

?

?

= ( 1 ? ) d R ? d R p f? p m

股 票 ( 组 合 ) 的 损 益 额 : SP ?? d R p
作业

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四、衍生证券的市场风险灵敏度测量
(一)衍生证券(衍生金融工具,衍生产品)
衍生证券:指其价值依赖于基础标的资产价格的金融工具。

(二)衍生证券的种类(这里只提及一种划分标准)
根据衍生证券价值与其标的资产价格之间的关系: 线性衍生证券:远期;期货;互换 非线性衍生证券:期权

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(三)衍生证券的定价
1、线性衍生证券的定价
远期合约定价是线性衍生证券定价的基础 (期货和互换可以视作特殊的远期或者系列远期合约的组合)
? rT ( ? t) 远期(合约)价值 —— 合约持有 f ? S ? X e t t

人的收益

远期价格(期货价格)—— 远期(期货)合约中标的物的远 期 价格(理论期望价格),即标的 资产现货价格的终值。

F ? Se t

r(T?t)

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2、非线性衍生证券的定价(B-S期权定价模型) 期权(option):指赋予其购买者在规定期限内按双方 约定的价格购买或出售一定数量标的 资产权利的合约。 美式期权:到期日之前任一时间都可执行的期权。 欧式期权:在到期日方可执行的期权。 看涨期权:买入期权 看跌期权:卖出期权 期权买者的权利 期权费:期权的定价 期权卖者的义务

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(1)欧式期权到期(T)时的价值:
看 涨 期 权 : m a x0 X ?,S ? T? 实值期权;虚值期权;平价期权 看 跌 期 权 : m a x X ? S ,0 ? ? T

(2)B-S期权定价模型(标的资产不支付红利
? r(T? t) c ? SNd ( ) ? X e Nd ( 2) t t 1
? r ( T ? t ) pX e N ( ?? d )S N ( ? d ) t? 2 t 1

欧式期权)

基本思想:期权的价值依赖于它最终处于实值状态的概率。

S S 2 2 t ln t ?(r?0 .5 ? ) ( T ? t ) ln ?(r?0 .5 ? ( T?t) s s ) X X d ;d ?d ? t 1? 2? 1? s T? ? t ? t s T? s T? N () : 标 准 正 态 变 量 的 概 率 分 布 函 数 。
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(四)衍生证券市场风险的灵敏度的度量
1、影响衍生证券价格的因子
(1)标的资产的价格 St (2)时间 t

(3)利率 r
(4)标的资产收益率的波动
? r ( T ? t) f ? S ? X e t t

?

s

F ? Ster(T?t)

? r ( T ? t) c ? S N ( d ) ? X e N ( d ) t t 1 2

S S 2 2 t l nt? ( r ? 0 . 5 ? ) ( T ? t ) l n ? ( r ? 0 . 5 ? ( T ? t ) s s) X X d ? ; d ? ? d ? ? t 1 2 1? s T ? ? t ? ? t s T s T
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如果衍生证券的价值统一以F表示,则其价 值变化ΔF可以表示为:
? F ? F ? F ? F ? F ? ? S ? ? ? ? ? t ? ? r ? S ? ? ? t ? r 2 2 2 2 1 ? F 1 ? F 1 ? F 1 ? F 2 2 2 2 + ( ? S )? ( ? ? ) ? 2( ? t )? ( ? r ) 2 2 2 2 ? S 2 ? ? 2? t 2? r +

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2、衍生证券(其价值统一以F表示)市场风险的灵敏度计算
——
2 d F d F , 或 者 2 d ( 市 场 因 子 ) d ( 市 场 因 子 )
? rT (? t) f ? S ? X e t t

线 性 衍 生 产 品

非 线 性 衍 生 产 品

r(T?t) F ? Se t
? r ( T ? t ) c ? S N () d ? X e N ( d ) t t 1 2

(1)delta: ? ?

dF dS

? r ( T ? t ) pX ? e N ( ?? d )S N ( ? d ) t 2 t 1

?Forward ?

dF ?1 dS

?c ?

dF ? N(d1) dS

d F r ( T ? t) ? ? ? e F u t u r e d S d F ?p ? ?N ( d )? 1 1 d S

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d 2F (2)Gamma: ? ? dS 2 d 2F ? forward ? 2 ? 0 dS

?Forward ?

dF ?1 dS

? F u t u r e ?
?c ?

? future

d 2F ? 2 ?0 dS

d F r ( T ? t) ?e d S

2 ? dF N ( d ) 1 ?c ? ?p ? 2 ? d S S ? T? t

dF ? N(d1) dS d F ?p ? ?N ( d )? 1 1 d S

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(3)Theta: ? ?

d F d t 衍 生 证 券 价 格 变 化 对 时 间变 t 化 的 敏 感 性 ,
? rT ( ? t)
? rT (? t) f ? S ? X e t t

也 称 为 衍 生 证 券 的 时 间 消 耗 (tim ed e c a y )
r(T?t)

2T ? t ? S N ( d ) ? ? rTt (? ) 1 ? ? ? r X e Nd ( ? ) p 2 2T ? t
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? ? r X e f o r w a r d? F ? Se r ( T ? t) ? ? ? r S e c ? S N () d ? X e N ( d ) f u t u r e ? S N ( d ) ? pX ? e N ( ?? d )S N ( ? d ) ? rTt (? ) 1 ?? ? r X e N ( d )
t
? r ( T ? t ) t t 1 2

? r ( T ? t )

t

2

t

1

c

2

(4)Vega: ? ?

dF d?

? rT (? t) f ? S ? X e t t

r(T?t) F ? Se t
? r ( T ? t ) c S N () d X e N ( d ) t? t 1? 2

? ? ? ST ? t N ( d ) c? p? 1

d F (5)Rho:? ?衍 生 品 价 格 对 利 率 变 化 的 敏 感 性 d r
? rT (? t ) ? ? ( TtX ? ) e f o r w a r d
rTt (? ) ? ? ( T ? tS ) e f u t u r e ? r ( T ? t ) ? ? ( TtX ? ) e N ( d ) c 2

? r ( T ? t ) pX ? e N ( ?? d )S N ( ? d ) t 2 t 1

? ? ?? ( TtX )e
p

? r ( T ? t )

N ( ? d ) 2

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? F ? F ? F ? F ? F ? ? S ? ? ? ? ? t ? ? r ? S ? ? ? t ? r 2 2 2 2 1 ? F ? F ? F 2 1 ? F 2 2 1 2 1 + ( ? S )? ( ? ? ) ? 2( ? t )? ( ? r ) 2 2 2 2 ? S 2 ? ? 2? t 2? r +

1 2 ? ? ? ? S + ? ??? ( S ) ? ? ? ? ? ? ? ? t ? ? ? ? r 2

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§2 市场风险的波动性度量法

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§2 市场风险的波动性度量法
一、市场风险度量的核心问题是价格波动性 二、波动性的概念

三、波动性的度量方法
(一)统计学方法 (二)Garch类模型方法 (三) SV模型方法 (四)隐含波动性方法

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§2 市场风险的波动性度量法
一、市场风险度量的核心问题是价格波动性
由于金融资产的市场风险是由市场因子等的变 化引起的,因此,市场风险测量的核心是对市场因子 或者直接对资产价格的波动性进行估计和预测。

二、波动性(Volatility)的概念
波动性是指金融资产价格偏离其期望价值的程 度。波动性越大,价格上升或下降的机会或幅度就越 大,因此,市场风险就越大。

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统计学方法

三、波动性的度量方法

Garch类模型方法 SV模型方法 隐含波动性方法

(一)统计学方法
1、方差或标准差

??

? (x ? x)
i ?1 i

n

2

n

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2、金融经济学中,波动性通常用收益率的标准差 来度量
?金融资产价格
无限方差 随机游走过程 非平稳随机过程

?金融资产收益率: 收益率是对投资机会的一个不受规模限制的完整概括。 收益率比价格具有更好的统计特征:
有限方差

金融资产收益率

平稳随机过程

均值回复

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价格序列

收益率序列
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?收益的衡量方法
(1)简单净收益率: (2)简单总收益率:

Pt ? Pt ? 1 Pt Rt ? ? ?1 Pt ? 1 Pt ? 1 Pt ? D t Rt ? ?1 Pt ? 1 D t : 第 t期 的 股 利 或 利 息

or :

Pt ? Rt ? 1 Pt ? 1 Pt ? D t ? Rt ? 1 Pt ? 1

or :

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现实中使用较多

(3)对数收益率(连续复利率):简单总收益率的自然对数 P t r ? l n ( R ? 1 ) ? l n ( ) ? l n P l n P t t t? t ? 1 P t ? 1

P e ? Rt ?1 ? t P t?1
r t

?P e t ?P t? 1
r l n ( R 1 ) t? t?
r t R ? e ? 1 t

r t

简 单 净 收 益 率 与 连 续 复 利 率 ( 对 数 收 益 率 ) 之 间 的 换 算 关 系 :

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(4)多期收益率的计算——复合法
① K期简单总收益率的计算

P P P t t P t ? 1 P t ? k ? 2 t ? k ? 1 1 ? R ( k ) ? ? ? ? ? ? ( 1 ?? R ) ( 1 R ) ( 1 ? R ) t t t ? 1 t ? k ? 1 P PP P t ? k P t ? 1 t ? 2 t ? k ? 1 t ? k

② K期对数收益率的计算
r t (k)=lnP t ?lnP t?k ? ln[(1? R t )(1? R t? 1) (1? R t?k? 1)] ?ln(1? R t?k? 1)

=ln(1? R t ) ?ln(1? R t? 1) ? = r t ?r t? 1? ?r t?k? 1

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注:
a) 对数收益率把连乘运算简化为加法运算,更容易实现在多 期上的扩展(具有时间可加性)。

b) 加法运算比连乘运算更容易表现出时间序列的特征。
c) 由于和的对数不等于对数的和,所以,资产组合的对数收 益不能以各资产对数收益的加权平均得出。(简单收益可 以实现)

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3.波动性的期限结构问题(时间加总问题 time aggregation)
为了比较不同期限的收益和风险,需要进行口径一致性转
换计算(比如,比较不同时间期限的风险大小时都按年波动率 进行计算),经济计量学中称之为时间加总问题。 波动性的期限结构:在某一既定时间期间,收益率波动性 与期限长短之间的关系。

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(1)独立同分布(I.I.D)假设条件下的时间加总 独立同分布假设(基于有效市场假说):

a) 收益率在连续的时间区间内是相互独立、不相关的:

c o v ( RR )? 0 t, t ? 1
b) 收益率在整个时间段上遵循同样的分布,即:

E ( Rt ) ? E ( Rt ?1 ) ? E ( R) ? ? var( Rt ) ? var( Rt ?1 ) ? ? 2 即:Rt N (? ,? 2 )

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基于上述独立同分布假设,可得:
ER ( t ?R )?ER ( t)?ER ( t? )?ER ( )?ER ( )?2 ? t? 1 1 v a r (R R )?v a r (R v a r (R )? 2 c o v (R ) t? t? 1 t)? t? 1 t,R t? 1
2 2 2 = σ + σ + 0 = 2 σ

以此类推,期望收益μ和方差σ2随时间期间T的延长是线 性增加的。
设每日的期望收益为μday, T 为一年的交易天数,则 ? annual ? ? day ? T

? ?T ( T 规 则 ) ?? a n n u a l? d a y
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?

2 annual

? ?

2 day

?T

? 假设某金融资产的收益率服从独立同分布,如果该 金融资产以标准差衡量的日收益波动率 ? ? 0.81 ,

请依此推断其一周(5天交易日)的波动性大小。
?annual ? ?day ? T
( T 规则)

?week ? ?day ? 5 ? 0.81? 2.24 ? 1.8112

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2、非独立同分布条件下的时间加总
有效市场假说不成立时,收益在相邻的(一系列)时间期间就有 可能是相关的。对这种情况最简单的过程描述是一阶自回归过程:

r ? r ? u t? t ? 1 t
2 u IID . . E ( u ) ? 0 v a r ( u ) ? ? t t t

此时,两期的期望收益及方差为:

E(r t ?r t?1) ? ?E(r t?1) ? E(r t?1) ? E(r t?1)(1? ?)
2 2 var(r ? r ) ? ? ? ? ? 2cov(r t t?1 t,r t?1)

? 2?2 ? 2??2 ? 2?2(1? ?)
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4、波动性的统计学衡量方法的缺陷
(1)“幽灵效应”(ghost effect)或“回声效应”(echo effect)

即仅仅某一次不正常的收益变化(如极端事件发生)就 会对波动性的估计产生长时间的影响,其随后几天波动性估 计值都会持续在较高水平上,而实际上波动性可能很早就恢 复了正常水平。 (2)难以动态反映波动性的变化情况:

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?收益率波动具有集群性和爆发性特征(clustering) ?波动性冲击具有持久性特征

?收益率具有均值回复特征(向某个长期平均水平收 敛的趋势)

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?与独立同分布(正态分布)相比,收益率序列具 有尖峰厚尾性特点。

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(二)GARCH类模型方法
1、 ARCH模型(Engle 1982)

rt ? ? ??t

E (? t ) ? 0 var(? t | ?t ?1 ) ? ? t2
2 2 t ? 2 2 q tq ?

均值回复

称 服 从 q 阶 自 回 归 条 件 异 方 差 过 程 , 记 作 A R C H ( q ) t

?

?? ?? ? ?? ? ?? ? ? ?
2 t 0 2 1 t ? 1

集群性

?

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2、 GARCH类模型(General ARCH 1986 Bollerslev)

GARCH(p,q): rt ? ? ? ? t

? t2 ? ?0 ? ??i? t2?i ? ? ? j? t2? j
i ?1 j ?1

p

q

通过反复迭代,容易发现:可以低阶的 GARCH 模型来 代表高阶的ARCH模型。有些研究表明, GARCH(1,1)~ ARCH(20)

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(三)随机波动(SV)模型方法
GARCH类模型的缺陷:条件方差依赖于过去的观测值,存在异常观 测值时,估计的波动性序列就缺乏稳定性。 随机波动(SV)模型:将 ? 2 直接表示为一个服从某种分布的随机过程。 t 比如,通常假设对数波动性服从一阶自回归过程

r ? t? t? t

? t

N ( 0 , 1 )

l n ( ? ? ? ? ? l n ( ? ) ? ? t) 0 t ? 1 t

? t

N ( 0 , 1 )

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(四)隐含波动性( implied volatility IV)
1、含义:
隐含波动性:当期权价格可以获得时,通过反解BS期权定价公式得到的标的资产收益率的波动性。
? r(T? t) c ? SNd ( ) ? X e Nd ( 2) t t 1
? r ( T ? t ) pX ? e N ( ?? d )S N ( ? d ) t 2 t 1

S S 2 2 t t ln ?(r?0 .5 ? )( T ? t ) ln ? ( r ? 0 .5 ? T?t) s s )( X X d ? ; d ? ?d ? t 1 2 1? s T? ? t ? t s T? s T? N () : 标 准 正 态 变 量 的 概 率 分 布 函 数 。
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投资者买卖期权考虑的是标的资产可能的价格波动情况, 因此,期权交易在西方也被称为“买卖波动率”。 B-S期权定价 模型的关键假设虽然不符合市场现实,但该公式仍被广泛使用 ,因为该模型可以把期权的价格转换为对波动率的直观估计。 2、隐含波动率的用途(两种可能) ?隐含波动率可用来衡量期权价格是否合理。假若以现在期权 的市场价格反推标的资产的波动率是0.50,但实际的波动率 是0.30,表示市场高估了期权价值。 ?隐含波动性是以期权价格的当前数据来推算标的资产价格的 波动性,因为价格包含了对未来的预期信息,因此,隐含波 动性包含了投资者对标的资产价格未来走势的预期。
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3、隐含波动性的求解 (1)插值算法 由于B-S期权定价公式很难得到?的解析解,通常根据 期权价格与波动性正相关的特点通过数值算法近似求解。
c (p )

p h ig h

p lo w

p real

p p h i g h? r e a l

? ? h i g h? r e a l ? p p ? ? r e a l? l o w r e a l? l o w
?

?

lo w

?

real

?

h ig h

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(2)隐含波动率的Matlab求解函数:
Volatility=blsimpv (price, strike, rate, time, value, limit, tolerance, class)

Price:标的资产的当前价格(St)
Strike:执行价格(X) Rate:年复利无风险利率(r)

Time:到期时间(T-t)(单位:年)
Value:期权价格 Limit 和 tolerance:对迭代计算的设定,不写出来默认。 Class:期权类型(call或者put)
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4、“隐含波动性微笑”现象(volatility smile) 理论上讲,若多个期权有相同的标的资产,但执行价格 不同,利用Black-Scholes 模型计算出的标的资产隐含波动性 应相同。然而,实际上由许多拥有相同标的资产但执行价不 同的期权价格所计算出的隐含波动性是不同的,由此产生的 系统性偏差为波动性微笑(Volatility Smile)。 由于对此现象进行解释的困难性,也被称为“微笑之谜” ( Smile Puzzle)

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(1)货币期权(外汇期权)的隐含波动率微笑现象
可能的原因: (1)货币期权多作为避险 工具使用。在两端,投资 者一般不会出售深实值期 权,因而供给量较小,溢 价较高,隐含波动率就较 高。根据看涨看跌期权平 价关系,看涨期权的溢价 也会造成虚值看跌期权的 溢价,造成微笑现象。 (2)作为避险工具的货币期权,在上档和下档执行价区间,对于期权的卖 方来说风险较大,因而供给量相对较小,价格较高,隐含波动率较高;执 行价位于中间区间的货币期权供给量相对较大,价格较低,隐含波动率也 较低。
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“隐含波动性偏斜/假笑”现象 (volatility skew/smirk)
(2)股票期权的隐含波动率现象
可能的原因: (1)与财务杠杆有关。股 票价格较低时公司的财务 杠杆比率较高,意味着公 司股权价值风险较大,波 动率较大;而股票价格较 高时公司的财务杠杆比率 较低,从而公司股权价值 风险较小,波动率较小。 (2)股市崩盘恐惧症。在指数下跌时,投资者恐慌指数会不断升高,就会不 计代价的买进看跌期权,导致此时的看跌期权价格提高,隐含波动率上升; 相反,在指数上升时,投资者恐慌指数会下跌,投资者通常会变得过度乐观 而不采取任何避险行为,此处的看跌期权价格会因需求量减少而下跌,其隐 含波动率也相对较低。根据看涨看跌期权平价关系,看涨期权价格走势类似。
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(3)黄金期权的隐含波动率现象
可能的原因: 黄金期权多作为避险 工具使用,由于黄金本身 具有价值,使得在黄金价 格较低时,黄金看跌期权 的需求量减少,导致其价 格下降,隐含波动率随之 降低;在黄金价格较高时, 看跌期权的需求量增加, 导致其价格上升,隐含波 动率也随之上升。

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§3 市场风险的VaR度量法

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§3 市场风险的VaR度量法
一、概率分布与分位数

二、VaR的计算
(一)VaR的定义 (二)VaR的计算 (三)组合VaRp与组合中各资产VaRi之间的关系 (四)资产组合VaR的分解:成分VaR、边际VaR、增量VaR (五)边际VaR(即M-VaR)的计算

总结:VaR方法的缺陷

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一、概率分布与分位数
1、概率分布
(1)离散型随机变量的概率分布

(2)连续型随机变量的概率分布

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2、分位数 ?中位数:将一组数据按照升序从小到大排序后,处于 中间位置上的变量值为中位数。 ?四分位数(quartile):将一组数据按照升序从小到大 排序后,通过三个点将全部数据平均分为四 部分,则第一个点对应的变量值为四分位数。 ?十分位数(decile): ?百分位数(percentile):

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二、VaR的计算
(一)VaR的定义 ?VaR(Value at Risk):在一个目标投资期内,在给定的置 信度下(比如c=95%或c=99% ),资产组合的预期最大损失 即为VaR 。 对VaR也可以作以下理解:
?你有95%(或99%)的把握你的损失不会超过某一个值 ,那么这个值即为VaR。 ?实际损失超过VaR 值的概率小于1-c。 ?VaR风险测量的优点:以一个简单易懂的数字表明投资者在 金融市场的波动中所面临的风险大小。
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W

E (W ) W 0
相对VaR 绝对VaR

W
5% W*
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*

(二)VaR的计算

1、VaR的基本计算公式
几个假设条件: W0:初始投资额 R:目标投资期的投资收益率
E ( R) ? ? var( R ) ? ? 2

则: W ? W ( 1 ?R ) 为目标投资期末资产组合的价值。 0
E ( W ) ? W ( 1 ? ? ) 为目标投资期末资产组合的期望价值。 0
? ? 则W ? W ( 1 ? R )为给定置信水平下的资产组合的 0 最小价值。

? R : 给 定 置 信 度 ( 比 如 c = 9 9 % ) 下 资 产 组 合 的 最 低 收 益

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(1)相对VaR
相对VaR:资产组合投资期末的期望价值E(W)与给定置信水平 下的资产组合的最小价值之差。
? 相 对 V a R = E ( W )? W ? = W ( 1 ? ? )? W ( 1 ? R ) 0 0 ? ? = W ( ? ? R ) ? ? WR ( ? ? ) 0 0

(2)绝对VaR

绝对VaR:资产组合 的初始价值W0与给定置信水平下的资产 组合的最小价值之差。
? 绝 对 V a R= W ? W 0 ? = W W 1? R ) 0? 0( ? =?WR 0

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总结:
① 计算VaR的关键:寻找资产组合的最小价值W*或 最低收益率R *。

② 若期限较短,期望投资收益率可能很小(接近于零
),此时,相对VaR和绝对VaR结果相近。否则, 相对VaR更为合适,因为它以资产组合的期望价值 为比照标准。
相 对 VaR=E(W) ?W?
? ?? W ( R ? ?) 0

绝对VaR =W0 ? W ? = ? W0 R?

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2、根据频数分布计算VaR(确定 R *或者 W* )
计算VaR的一般方法:给定资产组合价值(或收益率)的概 率分布f (W)(或f (R) ),在给定的 置 信度 下(比如,95%),找出最小的 W* (或R * )。 例子:根据频数分布计算资产组合收益的VaR : 考虑某种资产组合,历史上10年中该资产组合每日收益数 据共有2527个,其分布情况如下图所示:

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每日收益的频数分布

单位:百万美元

5%×2527=126(个)

从经验(频数)分布中求5%分位数对应的收益值(-47), 用期望收益( 0)减去该值即可求得资产组合收益的VaR : VaR =0-(-47)=47
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使用频数分布度量市场风险VaR存在的问题:
① VaR仅有有限的精度:VaR的值受样本时期长度和所使用的统 计方法的影响。

② VaR没有给出最坏情形下的损失。
③ VaR没有给出损失分布的描述:对于同样的一个VaR,可以有 两个非常不同的损失分布。(对照下一页的两个图)

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虽然VaR相同,但第二种分布下,发生巨大损失的概率非常大。

5%×2527=126(个)

5%×2527=126(个)

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3、根据参数分布计算VaR(确定 R *或者 W* )

?频数分布需要足够多的历史数据,有时候是难以获得的。
?研究问题的另一种基本方法:统计推断

?统计推断:利用观测的样本推断总体的一些性质。
?统计推断经常对所研究的总体做一些分布假定,比如服从 正态分布,等等。这些分布通常以某些参数来描述其分布 特征,所以又称为参数分布。比如,正态分布的位置和形 状可以由其均值和方差两个参数来描述:

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0

位置相同但形状不同的正态分布曲线

形状相同但有不同均值的正态 分布曲线

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?标准正态分布中VaR的计算(确定 R *)
f (R )

?假设某金融资产收益率 R 服从正态分布;
R N(?,?2)

5%

0

R

*

?
f ( R ?)

?将 R 转换为标准正态分布: R?? ?? R N (0 ,1 ) ?

R

置 信 度 c=95% 时 的 最 小 收 益 率 R? 在 标 准 正 态 分 布 下 对 应 的 值 为 R??: R? =
?

R? ? ?

?

5%: R?* ? ?1.65 1%: R?* ? ?2.33

5%

?
R ??
0

* ?* R ?R ???

R ?

?16 .5 ??? ( 9 5 % 置 信 度 下 )

或 者 =-23 .3 ??? ( 9 9 % 置 信 度 下 )

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* ?* R ?R ???

?16 .5 ??? ( 9 5 % 置 信 度 下 ) 或 者 =-23 .3 ??? ( 9 9 % 置 信 度 下 )

相 对 VaR=E(W) ?W
?

?

绝对VaR =W0 ? W ? = ? W0 R?

?? W 0 (R ? ?)

注意:在最终代入公式计算VaR之前,还应注意标准差和均值 两参数与VaR之间的时间一致性问题!!!

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* * ? R ?R ?? ?

5%: R?* ? ?1.65 1%: R?* ? ?2.33

?假设: ? ? 和 ? 都是以年为时间单位计算的; ?收益率是相互独立的(服从独立同分布—正态分布); ?投资期为 ? t 年。 ?则资产组合价值的:
? ? ? t 年对 的 相 V a R ? ? W [ ( R ? ? t ? ? ? t ) ? ? ? t ] 0 ? ? ? ? W R ? t 0 ?

? ? ? ? ? 年 相 对 V a R ? ? W ( RW ? ) ? ? ( [ R + ) ? ] ? ? W R 0 0 0

? ? ? ? ?
??

? ? ? 年 绝 对 V a R ? ? W R ? ? W ( R ? + ? ) 0 0

? ? ? t 年 的 绝 对 V a R( ? ? W R ? t ? ? t ) 0

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? ? 相 对 V a R = ? W R t 0 ?? ? ? 绝 对 V a R = ? W ( R ? t ? ? ? t ) 0 ?

5%: R?* ? ?1.65 1%: R?* ? ?2.33

总结:构建资产组合价值VaR的步骤

?获取当前资产组合的逐日(年、月等)收益率 R
?计算其均值与标准差

? ? ,? ?

?设置时间期限或持有期 ? t

?设置置信度(95%或者99%)
?通过计算、处理得出VaR值 注意: 1.在金融实务中通常使用相对VaR; 2.置信度通常为99%,即
投资期( Δt )内 收益率的标准差

? ? 3.置信度99%下金融资产收益率的相对VaR= ? R ?? t? 2 . 3 3 ?? t

??=?2 R .3 3

W t 4.置信度99%下金融资产(收益)的相对VaR= 2.33 0? ?
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(三)组合VaRp与组合中各资产VaRi之间的关系
? ? 组 合 的 相 对 V a R= W R ? p ? 0 ? ? ? = ? W R ? ? ? 0 ? ? ? ? ? ? ? ? =? ? W R ? d i a g ( ? , ? ) ? ? W Rd i a g ( ? , ? ) ? 1 n? ? 0 1 n ? 0 ?

? ? ? , ? : 组 合 中 的 资 产 权 重 向 量 ; ? ?

? =? V a R , V a R V a R , V a R ??? ? 1 n 1 n

? ?
1

n

: 组 合 中 的 资 产 收 益 率 的 方 差 协 方 差 矩 阵 ; : 组 合 中 的 资 产 收 益 率 之 间 的 相 关 系 数 矩 阵 。

所以,只有当Γ=1时,即组合中各资产之间均完全正相关 时,组合中各项资产的独立VaR之和才等于组合的VaR,即 n VaRp ? ?VaRi 。然而,根据资产组合原理,这种情况下,投资 i ?1 组合将起不到任何分散风险的作用。
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? 由于通常情况下

VaRp ? ?VaRi
i ?1

n

? 所以,对于资产组合管理者而言,知道各项资产的VaR,对于

了解组合总体风险的主要来源并不能提供有意义的参考价值。
? 要了解各资产对组合总体风险的贡献大小,还需要对组合的 VaR进行分解。

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(四)资产组合VaR的分解:成分VaR、边际VaR和增量VaR
1、成分VaR(Component VaR,简记为C-VaR)
T w ? ( w , ? , w ) ? 定义:若资产组合 i 的某种VaR(记为 1 n 中,资产 n C ? VaRi )满足 ,则称 为该资产 i i V a R V a R ( w )? C ? V a R C ? VaR ? P? i i ? 1 的成分VaR。

? C-VaR的特性:
(1)组合中所有资产的成分VaR之和恰好等于组合的VaR; (2)资产i 的成分VaR恰好为资产i 对组合VaR的贡献额; (3)若某资产的成分VaR为负,则该资产可对冲组合其余部分的 风险。
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2、 边际VaR(Marginal VaR,简记为M-VaR)
T 定义:设资产组合为w ,所谓的 ? ( w , ? , w ) 1 n

边际VaR是指资产组合中由于某资产的头寸变化而

导致的组合VaR的变化,即
? V a Rw ( ) M? V a R i ? ? w i

边际VaR反映了组合VaR对某一资产头寸变化的 灵敏度,它有助于资产组合管理者了解当调整某些 资产头寸时会给组合整体市场风险带来的影响程度 。
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3、增量VaR(Incremental VaR,简记为I-VaR)
T ? ( w , ,w ) 假设在原来资产组合 w 的基础上,新增加另 1 n
T w ? ( d w , , d w ) 一个资产组合 d ,并将调整后的资产组合的VaR 1 n 记为VaR(w+dw)。于是,新增资产组合dw的VaR被称为增量 VaR,其计算公式为 :

I-VaR(dw)=VaR(w+dw)-VaR(w) I-VaR>0 :加入新资产资产组合将增加组合的VaR;

I-VaR=0:加入新资产资产组合不影响组合的VaR;
I-VaR<0 :加入新资产资产组合将减少(对冲)组合的VaR。
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4、成分VaR、边际VaR和增量VaR之间的关系
经济学中的欧拉定理:产量和生产要素L、K的关系表述 为Q=Q(L,K),如果具体的该函数形式是一次齐次的,那么 就有: ? Q ? Q Q ?L ? ?K ? ? L ? K 被视为资本对产量 的贡献,因此,此式被解释为“产品分配净尽定理”,又叫做“边 际生产力分配理论”,也就是所有产品都被所有的要素恰好分配 完而没有剩余。因为形式上符合数学欧拉定理,所以称为欧拉 定理。产品分配净尽取决于Q能否表示为一个一次齐次函数形 式。
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?Q ?Q 因为 ? L 被视为劳动对产量的贡献, ?K

数学中的欧拉定理:

齐次式即多项式中各个单项式的次数都相同。“齐次”即 “次数相等”的意思。比如:x+y+z 次数都是1;x2+2xy+y2 次 数都是2;x3+xyz+y3+z3 次数都是3。

? Q ? Q Q ?? 1Q ? L ? ? K ? ? L ? K
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根据欧拉定理:

? ? 组 合 的 相 对 V a R = ? W R p 0 ? 0

? V a R ( )n V a R ? V a R ( ) ? C ? V a R ? ? ? M ? V a R ? ? ? p i i i i ? i ? 1 i ? 1 i ? 1 i
n n

?

? V a R () ? 即 C ? V a R ? ?? ? ? V a R i? i i M i ? ? i
n

?? ? ?

? ?? ? ( = ? W R ? ? 为 ? 的 一 次 齐 次 函 数 )

而 IV ? a R ? V a R ( ?? ? d ) ? V a R () ? ? ( ?? d ) ? M ? V a R ( ?? d ) ? ? ? M ? V a R ( ? ) ? ? i? i i? i i i
n i ? 1 i ? 1

所以,只要知道组合中各项资产的边际VaR,则其成分VaR

和相应的增量VaR即可求出。

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(五)边际VaR(即M-VaR)的计算 假设收益率服从正态分布,则
? ? V a R ? V a R ( ? ) ? ? W R p 0 ?
n n n

2 2 2 ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? i? i ? i j i j i ? 1 i ? 1j ? i n

? V a R ( ? ) ? ? ? ? M ? V a R ? ? W R i? 0 ? ? ? ? i i

2 n ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 C o v ( r ? r ? r ? ? i i ? j i j= i, i i? j j) ? ? j ? 1 j ? i j ? 1 j ? i i

= 2 C o v ( r ) i ,r p 2 ? ? ? ?? ?? Cov(ri , rp ) 又 ? 2 ? = 2 C o vr (i ,r ) ? p ? ? ? ? ??i ? i i C o v (, r ) C o v (, r ) ir p ir p ? ? ? ? ? M ? V a RW ? R ? ? W R ? 2 = ? V a R i? 0 0 i p

?

C o v (r i ,r p) 其 中? i ? 2

?

?

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? 假如某资产组合的初始投资额为1000万元,其在目标 投资期内的预期年收益率为5%,该收益率的年波动 率为0.1,假设资产组合的目标投资期为3个月。该组 合由A、B、 C三种资产组成,ωA=0.3,ωB=0.5, ωC=0.2,且βA=1.4, βB=1.6, βC=-1.1。请计算A、B 、 C三种资产的C-VaR。 (置信度要求:95%或者99%)

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总结:VaR方法的缺陷

?金融资产收益率的“厚尾”性特点:金融市场中极端波
动事件发生的概率远高于正态分布的估计。 ?极端事件往往会给金融机构带来毁灭性的后果。 ?VaR描述市场正常波动下的最大可能损失,无法反映 市场出现剧烈波动的极端市场情形下的风险损失。 ?需要测量极端状况下市场风险的理论方法——压力测 试和极值理论来补充。

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§4 VaR测量方法的补充方法

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§4 VaR测量方法的补充方法
压力测试(Stress Testing)

极值理论(Extreme Value Theory)

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一、压力测试(Stress Testing)
压力测试是对极端市场情景下资产组合损失

的评估。
典型的压力测试方法包括情景分析和系统化

压力测试。

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(一)情景分析(Scenario Analysis)
1、含义:
通过构造金融市场中某些特殊情景,来评估金融市 场极端事件对资产组合价值变化的影响。

2、方法步骤:情景构造

情景评估

(1)情景构造 模拟产生某些市场极端情景,是情景分析的基础。

市场因子波动的极端情景

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情景构造方法: ?(1)历史模拟情景方法:假设历史重演 以历史上曾经发生过的极端事件为基准,构造 市场的未来极端情景。
极端市场事件 政治事件 历史极端事件 经济事件 自然灾害 可引发市场大幅震荡

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?(2)典型情景方法:对主要市场因子的变化进行模拟
通过对金融市场中一个或多个主要市场因子变化的模拟来构 造未来的极端情景。比如:股指变化10%;收益率曲线平移100个 基本点;波动性变化20%;等等。

?(3)假设特殊事件方法:设想可能的极端事件
通过设想未来可能发生的一次突发事件构造未来的极端情景

。如:大地震;大规模破产;突发性政治事件;等等。

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(2)情景评估 基于构造的情景,评估该极端情景发生时,对资产组合价值 变化的影响和损失后果。情景评估是情景分析的最终目的。 情景评估方法:
? 基于灵敏度的情景评估 缺陷:灵敏度适合于市场因子小幅波动 ? 基于全值的情景评估
损 益 = 基 于 资 产 定 价 公 式 的 重 新 估 值 原 来 价 值

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(二)系统化压力测试
对不同资产面临的各种市场因子不同程度的大幅 度波动构造一系列的极端情景,并评估这些极端情景 对资产组合价值的影响,从而产生一系列的压力测试 结果集合。与情景分析的最大区别在于,它不是针对 某一种特殊情景,而是针对一系列不同情景或情景组 合。 系统化压力测试主要包含风险类型确定和价格波动 水平的选择两个核心问题

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二、极值理论(Extreme Value Theory)
研究极端事件发生规律、 描述金融资产价值变化的尾 部分布特征的理论。 ?Ronald Fisher(1928)指出:极端事件遵循一定的分布形态。 可以从历史数据中估算出极值的概率分布。 ?应用举例:
? 荷兰海堤建设 ? 保险公司巨灾保险的定价 ? 金融风险管理

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?极值理论模型

?BMM模型(分块样本极大值模型 Block Maxima Method )
对数据进行分组,然后在每小组中选取最大(小)的一 个构成新的极值数据组,并对该数据组进行建模。 ?POT模型(超门限极值理论模型 Peaks over Threshold) 事先设定一个阈值,把所有观测到的超过这一阈值的数 据构成一数据组,并对该数据组进行建模。

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? ? u ? u?v ?uv? ? ? ? 2 v ? v?

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? 一多项式函数p=f(y)在y=y0的n阶的泰勒展开式是:
2 n n ? ? ? f ( y ) ( y ? y ) fy ( ) ( y ? y ) fy ( ) ( y ? y ) 01 0 01 0 01 0 p ? p ? ? ? 1 0 1 ! 2 ! n !
2 n n ? ? ? f ( y ) ( y ? yf ) ( y ) ( y ? y ) fy ( ) ( y ? y ) 01 0 01 0 ? p ? p ? p ? ? ? 01 0 1 0 1 ! 2 ! n !

P
?P P1 P0

y
y1 y0
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? 假设你持有某一股票组合P,该股票组合的市场价值 为200万元,该组合的Beta值为1.2。假设今天晚间中

央银行宣布下调基准利率1%,如果综合各种信息,
预计明天大盘指数上涨3%,请预测明天你的股票组

合的损益情况。

收益为7.6万元

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1 ? ? 相 对 V a R = ? W R ? t ? ? 1 0 0 0 ? ( ? 1 . 6 5 )0 ?? . 1 ? 8 2 . 5 0 4

?

1 1 ? ? 绝 对 V a R ? ? W ( R ? ? t ? ? ? t ) ? ? 1 0 0 0 ? ( ? 1 . 6 5 ?? 0 . 1 ? 0 . 0 5 ? ) 0 4 4 = 7 0

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1x lim (1 ? ) ?e x? ? x
m ? r ? n r

r r mn r ? n p ? lim p ( 1 ? )? lim p ( 1 ? ) ? p e n 0 0 0 m ? ? ? ? mm m

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