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杭州师范大学数学分析2013--2015考研真题/研究生入学考试试题

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杭 州 师 范 大 学 硕 士 研 究 生 入 学 考 试 命题 纸 杭 州 师 范 大 学 2013 年招收攻读硕士研究生入学考试题 考试科目代码: 考试科目名称: 721 数学分析 说明:考生答题时一律写在答题纸上,否则漏批责任自负。 一、计算题(每题 10 分,共 60 分) 1. 求 lim x ?0 ex ?1 ? x . x sin x 1 ? sin x ? x 2 2. 求 lim ? ? . x ?0 ? x ? 3. 计算 ? 2 ? x 2 ? y 2 ? 4? 2 ?? sin x 2 ? y 2 dxdy. 4. 求 I ? ?l ?x ? y ?ds, 这里 l 为以 O?0,0?, A?1,0?, B?0,1? 为顶点的三角形。 5. 求 ? x ln 2 xdx . 6. 已知 z ? yf ?x 2 ? y 2 ?, , f 为任意可微分函数,求 y 2 ?z ? xy ?z . ?x ?y 二 证明:若数列 ?an ?满足: a1 ? 0, an ? 之。 (15 分) an ?1 ? 3 , n ? 2, 则 ?an ?有极限,并求 4 三 设 f ?x? ?| x ? 1 |3 ?2, x ? ?? ?,???, 试求 f ' ?x ? 和 f ' ' ?x? , 又问 f ' ' ' ??1? 是否 存在?(15 分) 四 证明函数 f ?x ? ? ? sin nx 在 ?? ?,???内连续, 并有连续的导数。 (12 分) n3 n ?1 ? 2013 年 考试科目代码 721 考试科目名称 数学分析 (本考试科目共 6 页,第 1 页) 杭 州 师 范 大 学 硕 士 研 究 生 入 学 考 试 命题 纸 五 证明不等式: 1 2 p ?1 ? x p ? ?1 ? x ? ? 1, 这里 p ? 1 为取定正常数。 (12 分) p 六 设函数 f ?x ? 在 ?a, b? 内可导,证明:存在 ? ? ?a, b?使得 杭 州 师 范 3 大 学 2014 年招收攻读硕士研究生入学考试题 3? ? f ?b? ? f ?a?? ? ?b ? a ? f ' ?? ?. (12 分) 2 3 n 考试科目代码: 720 (12 分) 七 求级数 ? ?? 的收敛域与和函数。 1? n ?1 ? ? ln ? 考试科目名称: 数学分析 1 ? x? dx 的收敛性。 八 讨论积分 ?0 (12 分) ? ? x n ?1 n?n ? 1? x 说明:考生答题时一律写在答题纸上,否则漏批责任自负。 2013 年 考试科目代码 721 考试科目名称 数学分析 (本考试科目共 6 页,第 2 页) 杭 州 师 范 大 学 硕 士 研 究 生 入 学 考 试 命题 纸 一 计算题(每题均为 10 分,共 80 分) ?? x ? n x ? 1 求极限 lim n ??1 ? ? ? e ? n ?? ?? n? ? ? ? ?na?nb?nc? lim ? ? ? , ? a ? 0, b ? 0, c ? 0? 2 求极限 n ?? ? 3 ? ? 3设 n f ? x? , g ? x? 具有二阶导数,求复合函数 y ? f ? g ? x ?? 的二阶微分 d2y 。 4 求不定积分 sin x ? cos x ? 2 5 求定积分 ? 1 ? 1 dx arcsin x x ?1 ? x ? 1 x2 y 0 dx dy ? e dx 6 计算积分 ? ? y ? z ?ds ,其中 S 是球面 x 7 计算曲面积分 ?? 0 2 2 S 1 2 ? y 2 ? z 2 ? a2 8 求 x 为何值时,级数 ? n ?1 ? n ?1 ? x 收敛。 nx 二 证明题(每题 10 分,共 70 分) 9 证明:函数 tan x 在? ? ? ? ?? ? , ? 2 2 ? 上不一致连续。 10 证明:无界且非无穷大量的数列 ?xn ? 必存在收列子列。 f ? x? x 在 11 设函数 f ( x) ?0, ??? 上可导,且 f ? ? x ? 单调上升,又 f ? 0? ? 0 ,证明:函数 在 ?0, ??? 上单调上升。 12 设函数 f ( x) 在 2? 0 ?0, 2? ? 上导函数连续,且 f ? ? x? ? 0 ,求证:对任意自然数 n 有 f ? x ? sin nxdx ? ? ? 13 证明:函数 2 ? f ? 2? ? ? f ? 0 ? ? ? n? f ? x ? ? ? ne ? nx n ?1 在 ?0, ??? 上连续。 2013 年 考试科目代码 721 考试科目名称 数学分析 (本考试科目共 6 页,第 3 页) 杭 州 师 范 大 学 硕 士 研 究 生 入 学 考 试 命题 纸 xn ? y n f ? x, y ? ? , ? n ? 1? x ? y ? a, ? a ? 0, x ? 0, y ? 0? 14 求函数 在 条件下的极值,并证 2 杭 州 师 范 大 学 x ? y ? x? y? 2015 年招收攻读硕士研究生入学考试题 ?? ? , ? x ? 0, y ? 0, n ? 1? 明:不等式 n n n 2 ? 2 ? 15 设函数 收敛。 f ( x) 在 x?0 考试科目代码: 的某邻域内有二阶连续导数, 且 x ?0 720 lim ? f ? x? ?1? ?0 f? ? ? , 证明: 级数 x ?n? n ?1 考试科目名称: 数学分析 说明:考生答题时一律写在答题纸上,否则漏批责任自负。 一、求极限(每题 15 分,共 30 分) 1


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