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华东师大初中数学八年级上册等腰三角形性质定理 (提高) 知识讲解

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等腰三角形性质定理(提高)
: 【学*目标】 1. 了解等腰三角形的有关概念, 掌握等腰三角形的轴对称性 2.利用轴对称变换推导等腰三角形的性质,并加深对轴对称变换的认识. 3. 掌握等腰三角形的下列性质:等腰三角形的两个底角相等;等腰三角形三线合一. 4. 会利用等腰三角形的性质进行简单的推理、判断、计算和作图. 【要点梳理】 要点一、等腰三角形的定义
1.等腰三角形 有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形,其中相等的两条边叫做腰,另一边叫做底, 两腰所夹的角叫做顶角,底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示,在△ABC 中,AB=AC,则它叫等腰三角形,其中 AB、AC 为腰,BC 为底边, ∠A 是顶角,∠B、∠C 是底角.
2.等腰三角形的作法 已知线段 a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形 ABC,使 AB=AC=b,BC=a.
作法:1.作线段 BC=a; 2.分别以 B,C 为圆心,以 b 为半径画弧, 两弧相交于点 A; 3.连接 AB,AC. △ABC 为所求作的等腰三角形.
3.等腰三角形的对称性 (1)等腰三角形是轴对称图形 (2)∠B=∠C (3)BD=CD,AD 为底边上的中线.
(4)∠ADB=∠ADC=90°,AD 为底边上的高线.
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结论:等腰三角形是轴对称图形,顶角*分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的 对称轴.
4.等边三角形 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等 腰三角形,有三条对称轴,每个角的*分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称 轴. 要点诠释:(1)等腰直角三角形的两个底角相等,且都等于 45°,等腰三角形的底角只 能为锐角,不能为钝角(或直角),但顶角可为钝角(或直角).∠A=180°-2∠B,∠B=
∠C= 180? ? ?A . 2
(2)用尺规作图时,画图的痕迹一定要保留,这些痕迹一般是画的轻一些,能看清就 可以了,题目中要求作的图要画成实线,最后一定要点题,即“xxx 即为所求”.
(3) 等边三角形与等腰三角形的关系:等边三角形是特殊的等腰三角形,等腰三角形 不一定是等边三角形.
等边三角形是中考中常考的知识点,并且有关它的计算也很常见,因此对于等边三角

形的特殊数据要熟记于心,比如边长为 a 的等边三角形它的高是 3 a ,面积是 3 a2 .

2

4

【389301 等腰三角形的性质及判定,知识要点】 要点二、等腰三角形的性质 1.等腰三角形的性质
性质 1:等腰三角形的两个底角相等,简称“在同一个三角形中,等边对等角”. 推论:等边三角形的各个内角都等于 60°. 性质 2:等腰三角形的顶角*分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三
线合一”. 2.等腰三角形的性质的作用
证明两条线段或两个角相等的一个重要依据. 3.尺规作图:已知底边和底边上的高 已知线段 a,h(如图)用直尺和圆规作等腰三角形 ABC,使底边 BC=a,BC 边上的高线为 h.

作法:1.作线段 BC=a. 2.作线段 BC 的垂直*分线 l,交 BC 与点 D. 3.在直线 l 上截取 DA=h,连接 AB,AC.△ABC 就是所求作的等腰三角形.

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【典型例题】 类型一、等腰三角形中的分类讨论 【389301 等腰三角形的性质及判定:例 2(1)】
1、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 30°,则顶角的度数为( ). A.60° B.120° C.60°或 150° D.60°或 120°
【答案】D; 【解析】由等腰三角形的性质与三角形的内角和定理可知,等腰三角形的顶角可以是锐角、 直角、钝角,然而题目没说是什么三角形,所以分类讨论,画出图形再作答.
(1)顶角为锐角如图①,按题意顶角的度数为 60°;

(2)顶角为直角,一腰上的高是另一腰,夹角为 0°不符合题意;

(3)顶角为钝角如图②,则顶角度数为 120°,故此题应选 D.

【总结升华】此题主要考查了等腰三角形的性质,熟记三角形的高相对于三角形的三种位置 关系是解题的关键,本题易出现的错误是忽视了顶角为 120°这种情况,把三角形简单的认 为是锐角三角形. 举一反三:

【389301 等腰三角形的性质及判定:例 2(2)】

【变式 1】已知等腰三角形的周长为 13,一边长为 3,求其余各边.

【答案】

解:(1)3 为腰长时,则另一腰长也为 3,底边长=13-3-3=7;

(2)3 为底边长时,则两个腰长的和=13-3=10,则一腰长 ? 1 ?10 ? 5 . 2
这样得两组:①3,3,7 ②5,5,3.

而由构成三角形的条件:两边之和大于第三边可知:3+3<7,故不能组成三角形,应

舍去.

∴ 等腰三角形的周长为 13,一边长为 3,其余各边长为 5,5.

【变式 2】等腰三角形有一个外角是 100°,这个等腰三角形的底角是



【答案】50°或 80°.

解:①若 100°的外角是此等腰三角形的顶角的邻角,

则此顶角为:180°﹣100°=80°,

则其底角为:(180°﹣80°)÷2=50°;

②若 100°的外角是此等腰三角形的底角的邻角,

则此底角为:180°﹣100°=80°;

故这个等腰三角形的底角为:50°或 80°.

故答案为:50°或 80°.

类型二、等腰三角形的操作题

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A 2、(2016?顺义一模)我们把过三角形的一个顶点,且能将这个三角形 分割成两个等腰三角形的线段称为该三角形的“等腰线段”. 例如:如右图,Rt△ABC,取 AB 边的中点 D,线段 CD 就是△ABC 的等腰 线段. (1)请分别画出下列三角形的等腰线段;
C

D B

(2)例如,在△EFG 中,∠G=2∠F,若△EFG 有等腰线段,请直接写出∠F 的度数的取 值范围.

【思路点拨】(1)利用三角形的等腰线段的定义画图; (2)分类讨论等腰线段,从而求得∠F 的度数. 【答案与解析】解:(1)三角形的等腰线段如图所示,

(2)设∠F=x,则∠G=2x, 如图 2,线段 EM 是等腰线段, ∵△EMG 是等腰三角形, ∴EM=EG,ME=MF, ∴∠F=∠MEF=x,∠EMG=∠G=2x, ∴2x<90°, ∴x<45°; 如图 3,GN 为等腰线段, ∴NF=NG,GN=GE, ∴∠F=∠NGF=x,∠E=∠ENG, ∴∠EGN=x,∠ENG=2x, ∴∠E=2x,
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∴x+2x+2x=180°, ∴x=36°, ∴∠F 的度数的取值范围为 0°<x≤45°. 【总结升华】本题考查了作图﹣复杂作图:复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图, 一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的 性质,结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图.也考查了等腰三角形的性质. 举一反三: 【变式】直角三角形纸片 ABC 中,∠ACB=90°,AC≤BC,如图,将纸片沿某条直线折叠, 使点 A 落在直角边 BC 上,记落点为 D,设折痕与 AB、AC 边分别交于点 E、F, 探究:如果折叠后的△CDF 与△BDE 均为等腰三角形,那么纸片中的∠B 的度数是多少?写 出你的计算过程,并画出符合条件的折叠后的图形.
【答案】 解:若△CDF 是等腰三角形,则一定是等腰直角三角形.
设∠B 为 x 度 ∠1=45°,∠2=∠A=90°- x
①当 BD=BE 时
∠3= 180? ? x , 2
45°+90°- x + 180? ? x =180°, 2
x =30° .
②经计算 ED=EB 不成立. ③当 DE=DB 时
∠3=180°-2 x 45°+90°- x +180°-2 x =180°, x =45°.
综上所述,∠B=30°或 45°.
类型三、等腰三角形性质的综合应用
3、如图,在△ABC 中,AD 是 BC 边上的中线,E 是 AD 上一点,且 BE=AC,延长 BE 交 AC 于 F.
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求证:AF=EF.

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【思路点拨】根 据 点 D 是 BC 的 中 点 , 延 长 AD 到 点 H, 得 到 △ ADC≌ △ HDB, 利 用 全 等 三 角 形 的 对 应 角 相 等 ,对 应 边 相 等 进 行 等 量 代 换 ,得 到 △ AEF 中 的 两 个 角相等,然后用等角对等边证明 AE=EF. 【答案与解析】 证明:延长 AD 到 H 使 DH=AD,连接 BH.
∵AD 是 BC 边上的中线, ∴BD=CD 在△ADC 和△HDB 中,
?BD=DC ???BDH=?CDA , ??AD=HD
∴△ADC≌△HDB, ∴∠1=∠H,BH=AC ∵BE=AC, ∴BE=BH, ∴∠3=∠H, ∴∠1=∠3 又∵∠2=∠3, ∴∠1=∠2, ∴AF=EF 【总结升华】证明不在同一个三角形的两条线段相等,而它们所在的三角形不全等,可以利 用辅助线将它们转移到同一个三角形中,然后通过等腰三角形来证明.
举一反三:
【变式】如图,已知 AD 是△ABC 的中线,BE 交 AC 于 E,交 AD 于 F,且 AE=EF.
求证:AC=BF.

【答案】

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证明:延长 AD 至点 G,使 DG=AD,连接 BG.
∵AD为中线, ∴BD ? CD. 在△ ACD和△GBD中,
? AD ? DG, ???ADC ? ?GDB, ??CD ? BD, ∴△ACD ≌△GBD(SAS ).
∴BG ? AC, ?G ? ?CAD. ∵AE ? EF, ∴?CAD ? ?AFE. 又∵?BFD ? ?AFE, ∴?G ? ?BFD. ∴BF ? BG ? AC.

A
E F

B

D

C

G

4、如图,AC=BC,∠ACB=90°,∠A 的*分线 AD 交 BC 于点 D,过点 B 作 BE⊥AD 于
点 E.求证:BE= 1 AD. 2

【答案与解析】 证明:如图,延长 BE、AC 交于点 F.
∵∠1=∠2,AE=AE,∠AEB=∠AEF=90°, ∴△AEB≌△AEF(ASA).
∴BE=FE= 1 BF. 2
∵∠3=90°-∠F=∠2,BC=AC,
∴ Rt △BCF≌ Rt △ACD(ASA) ∴BF=AD,BE= 1 AD.
2
【总结升华】在几何解题的过程中,当遇到角分线或线段垂线时常考虑使用翻折变换,可保 留原有图形的性质,且使原来分散的条件相对集中,以利于问题的解决. 举一反三:
【变式】如 图 1, 在 △ ABC 中 , AB=AC, 点 D 是 BC 的 中 点 , 点 E 在 AD 上 . (1)求证:BE=CE;
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(2)如图 2,若 BE 的延长线交 AC 于点 F,且 BF⊥AC,垂足为 F,∠BAC=45°, 原 题 设 其 它 条 件 不 变 . 求 证 : △ AEF≌ △ BCF.

【答案】 证明:(1)∵AB=AC,D 是 BC 的中点,
∴ ∠ BAE=∠ EAC, 在△ABE 和△ACE 中,
? AB=AC ???BAE=?EAC , ?? AE=AE

∴ △ ABE≌ △ ACE( SAS) , ∴BE=CE; (2)∵∠BAC=45°,BF⊥AF, ∴△ABF 为等腰直角三角形, ∴AF=BF, ∵AB=AC,点 D 是 BC 的中点, ∴AD⊥BC, ∴∠EAF+∠C=90°, ∵BF⊥AC, ∴∠CBF+∠C=90°, ∴∠EAF=∠CBF, 在△AEF 和△BCF 中,

??EAF=?CBF

? ?

AF=BF

???AFE=?BFC=90?

∴△AEF≌△BCF(ASA).

5、如 图 ,△ ABC 是 等 边 三 角 形 ,D 是 AB 边 上 的 一 点 ,以 CD 为 边 作 等 边 三 角 形 CDE,使点 E、A 在直线 DC 的同侧,连接 AE.
求证:AE∥BC.

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【思路点拨】根 据 等 边 三 角 形 性 质 推 出 BC=AC,CD=CE,∠ ABC=∠ BCA=∠ ECD=60°, 求 出 ∠ BCD=∠ ACE,根 据 SAS 证 △ ACE≌ △ BCD,推 出 ∠ EAC=∠ DBC=∠ ACB,根 据 * 行线的判定推出即可. 【答案与解析】
证明:∵△ABC 和△DEC 是等边三角形, ∴ BC=AC, CD=CE, ∠ ABC=∠ BCA=∠ ECD=60°, ∴ ∠ BCA-∠ DCA=∠ ECD-∠ DCA, 即 ∠ BCD=∠ ACE, ∵在△ACE 和△BCD 中
? AC=BC ???ACE=?BCD , ??CD=CE
∴ △ ACE≌ △ BCD( SAS) , ∴ ∠ EAC=∠ B=60°=∠ ACB, ∴AE∥BC. 【 思 路 点 拨 】本 题 考 查 了 等 边 三 角 形 性 质 ,全 等 三 角 形 的 判 定 和 性 质 ,* 行 线 的 判 定 , 关 键 是 求 出 △ ACE≌ △ BCD, 主 要 考 查 学 生 的 推 理 能 力 .
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